Отделение 3. Динамических свойств и управления сложными объектами в пространстве
Основные направления исследований:
- развитие качественной теории управляемых динамических систем. Проблемы дифференциальной реализации нелинейных многомерных эволюционных моделей, в том числе, больших космических конструкций;
- развитие методов качественного анализа консервативных механических систем, а также решение конкретных задач динамики систем тел с использованием средств компьютерной алгебры.
Важнейшие научные результаты:
Установлен характеристический признак (и его модификации) разрешимости задачи дифференциальной реализации пучка управляемых траекторных кривых детерминированных хаотических процессов в классе билинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений (с запаздыванием и без) высших порядков в сепарабельном гильбертовом пространстве. Данная постановка относится к обратным задачам для аддитивной комбинации нестационарных линейных и билинейных операторов эволюционного уравнения высшего порядка в гильбертовом пространстве. Основой данной теории служат конструкции тензорных произведений гильбертовых пространств, структуры решеток с ортодополнением, теория расширения M2-операторов и функциональный аппарат нелинейного энтропийного оператора Релея-Ритца. Показано, что в случае конечного пучка траекторных кривых наличие свойства сублинейности данного оператора, позволяет получить достаточные алгебраические условия для существования таких реализаций. Полученные результаты отчасти носят обзорный характер и могут стать основой для развития в терминах пространств Фока качественной теории обратных задач полилинейных эволюционных уравнений высших порядков с операторами обобщенного запаздывания, например, описывающих моделирование нелинейных осцилляторов типа Ван дер Поля или странных аттракторов Лоренца.
В рамках тензорного анализа произведения гильбертовых пространств построены аналитические основания в изучении условий существования нелинейной дифференциальной реализации бесконечномерной динамической системы в классе билинейных нестационарных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в сепарабельном гильбертовом пространстве. Билинейная восьмивариантная структура дифференциальных уравнений исследуемой динамической системы моделирует комбинированную нелинейность, как от самой траектории, так и от скорости движения на этой траектории. В рамках геометрического решения данной задачи обосновываются тополого-метрические условия непрерывности проективизации нелинейного функционального оператора Релея-Ритца с вычислением фундаментальной группы его образа. Полученные результаты имеют потенциал для развития теории нелинейного анализа коэффициентно-операторных обратных задач неавтономных дифференциальных моделей полилинейных динамических систем высших порядков.
В задаче о движении твёрдого тела с неподвижной точкой под действием магнитного поля (порождённого эффектом Барнетта–Лондона) и потенциальных сил указаны частные случаи существования дополнительных квадратичных интегралов и проведён качественный анализ (поиск особых стационарных множеств и исследование их устойчивости) для уравнений движения тела в одном из этих случаев.
Рассмотрена задача о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки при существовании дополнительного частного интеграла Горячева–Чаплыгина, который существует при определённых соотношениях на моменты инерции, положение центра масс и равенстве нулю интеграла кинетического момента. Методом Рауса–Ляпунова выполнено нахождение стационарных движений. Для одного нового стационарного движения – состояния покоя, проведено исследование устойчивости.
Исследована динамика вращательного движения по круговой орбите спутника-гиростата в центральном ньютоновском поле сил (орбитальный гиростат). Получены необходимые условия устойчивости относительного положения равновесия (ОПР) общего вида. При определении конкретных ОПР рассмотрен случай, когда вектор гиростатического момента системы находится в одной из трёх плоскостей, образуемых главными центральными осями инерции. В пространстве введённых безразмерных параметров проведён параметрический анализ условий устойчивости и гироскопической стабилизации для некоторых равновесных состояний. Выполнено сравнение необходимых и полученных другими авторами достаточных условий устойчивости. Полученные области имеют аналитический вид или графическое представление в виде 2D-изображений.
