Лаборатория 1.1. Дифференциальных уравнений и управляемых систем

Получены результаты, развивающие теорию максимально монотонных операторов в ряде направлений: задачи с составным возмущением, вопросы зависимости решений от параметра, определяющего монотонный оператор, а также приложения к различным динамическим системам с гистерезисом. В гильбертовом пространстве изучены вопросы существования и свойств решений для разрывного процесса выметания, включающего проксимально-регулярные множества. Доказано существование непрерывных справа решений ограниченной вариации для рассматриваемого включения. В сепарабельном гильбертовом пространстве изучено эволюционное включение, содержащее зависящий от времени максимальный монотонный оператор и возмущение. Доказаны теоремы существования и плотности множества решений исходного включения на множестве решений овыпукленного включения. Получены необходимые и достаточные условия замкнутости множества решений исходного включения в случае, когда значения возмущения являются замкнутыми невыпуклыми множествами. Доказано существование решения для процесса выметания с тройным возмущением в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Рассмотрена задача минимизации интегрального функционала на решениях управляемой системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением в сепарабельном банаховом пространстве и вариационным неравенством. Для этой задачи доказан аналог классической теоремы Н.Н. Боголюбова. Установлена связь между решениями исходной управляемой системы и системы с овыпукленным ограничением на управление. В конечномерном случае доказано существование оптимального решения релаксационной задачи оптимизации.

Получены условия устойчивости и управляемости, а также оценки радиуса устойчивости для семейств линейных систем дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) с интервальными коэффициентами и с параметрической неопределенностью. Для управляемых ДАУ получен критерий существования программного управления, обеспечивающего отсутствие в решении замкнутой системы сингулярных слагаемых. Предложены алгоритмы построения минимальных реализаций передаточной матрицы и импульсной переходной матрицы для систем линейных ДАУ, как при наличии возмущений, так и при отсутствии таковых. Доказаны теоремы о существовании решений для широких классов линейных и нелинейных дескрипторных систем с дискретным временем. Эти результаты позволили получить критерии приводимости, правильности, управляемости в различных смыслах (в том числе робастном) для линейных систем и условия устойчивости и локальной управляемости по линейному приближению в нелинейном случае.

Получены достаточные условия существования единственного решения для некоторых классов ДАУ второго порядка и интегро-дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной матрицей в главной части. Для этих классов уравнений предложены и обоснованы варианты конечно-разностных схем.

Построены структурные формы для линейных ДАУ высокого порядка с
произвольным соотношением числа уравнений и искомых функций. Для таких систем введено понятие и предложены методы поиска особых точек на основе исследования свойств многопараметрических матричных многочленов. Выделены классы ДАУ с возмущениями в виде операторов Вольтерра и Фредгольма, у которых особые точки совпадают с особыми точками ДАУ. Предложены и обоснованы модификации метода наименьших квадратов для начальных и краевых задач для ДАУ с особыми точками.

Разработан метод исследования асимптотического поведения решений неавтономных систем, представленных в форме дифференциальных включений, а также связанных с ними систем дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и с запаздыванием. Результаты носят форму принципа инвариантности Ла-Салля и могут эффективно применяться в задачах притяжения, асимптотической устойчивости и стабилизации. Предложен метод построения комбинированных позиционных импульсных и обычных разрывных управлений в ситуациях, когда последним не хватает ресурсов управления.

Для нестационарных систем уравнений, содержащих в своей динамике подсистемы с непрерывным и дискретным временем, получены необходимые и достаточные условия существования решения задачи Коши, а также достаточные условия полной и R-управляемости. Для ДАУ с гистерезисом построена структурная форма, с помощью которой обоснованы необходимые и достаточные условия разрешимости начальной задачи, а также достаточные условия управляемости в различных смыслах.

Предложены подходы к численному решению линейных многомерных ДАУ. В частности, разработан метод, основанный на регуляризации операторно-разностной схемы и применении к ней векторно-аддитивного метода Абрашина. Также обоснован алгоритм, базирующийся на построении операторной дифференциально-разностной системы и её регуляризации с последующим использованием локально-одномерного метода и метода факторизации.