Отделение 2. Прикладных проблем математической физики и теории поля
Основные направления исследований отделения:
- развитие методов математической физики в теории солитонов, механике сплошных сред и плазме;
- развитие методов математической физики в квантовой теории поля, ядерной физике и кварк-глюонной плазме.
Важнейшие научные результаты:
Для нелинейного эволюционного параболического уравнения второго порядка достаточно общего вида исследован вопрос о существовании, единственности и свойствах решений, имеющих вид диффузионной волны, распространяющейся по абсолютно холодному (покоящемуся) фону с конечной скоростью. Подобные решения совершенно не типичны для параболических уравнений и появляются вследствие вырождения задачи. Доказаны утверждения о существовании и единственности решений рассматриваемого типа в классе аналитических функций с построением примера, являющегося аналогом классического примера С.В. Ковалевской в рассмотренном случае. Поскольку теоремы не позволяют исследовать свойства решений, были рассмотрены анзацы, которые сводят построение решений к задачам Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Их удалось проинтегрировать и получить информацию о свойствах решений в частных случаях, которые особенно интересны для приложений. На рисунке представлено наиболее интересное из полученных решений, имеющее вид уединенной волны (солитона), которая движется по покоящемуся фону с постоянной скоростью.
Исследована система двух нелинейных гиперболических уравнений в частных производных четвёртого порядка, правые части которой содержат двукратные операторы Лапласа и квадраты градиентов искомых функций. Для построения точных решений указанной системы уравнений был предложен анзац специального вида, содержащий квадратичную зависимость от пространственных переменных и произвольные функции от времени. Использование предложенного анзаца позволило декомпозировать процесс отыскания компонент решения.
Доказано тождество, обобщающее тождество Вайды для последовательности многочленов Люка, соответствующее циклу произвольной длины. Для любой линейной последовательности второго порядка показано, что она является Сомос-4 последовательностью. Найдено тождество, связывающее любую такую последовательность с сопутствующей эллиптической последовательностью. Доказана теорема, обобщающая теорему ван дер Пуртена-Сворт о том, что общая Сомос-4 последовательность удовлетворяет любому из трехчленных уравнений Гейла-Робинсона с подходящими коэффициентами. Также доказана теорема о том, что любая подпоследовательность общей Сомос-4 последовательности, где номер каждого члена принадлежит произвольной арифметической последовательности, также является Сомос-4 последовательностью.
Предложен подход к использованию скалярных бесселевых пучков целого и дробного порядков для восстановления потенциала рассеяния. Получена формула обращения для усеченных бесселевых пучков. Найдены соотношения, связывающие рассеянное поле и потенциал рассеяния в пространстве Фурье. На рисунке представлено изображение цилиндрических бесселевых пучков порядка n = 3, n = 5 в плоскости z = 0.
В рамках подхода Захарова-Шульмана, в близкой аналогии с методами квантовой теории поля, определена классическая S-матрица рассеяния для простейшего процесса взаимодействия жестких и мягких возбуждений в кварк-глюонной плазме, которая выбрана в виде наиболее общего интегро-степенного ряда по степеням асимптотических значений нормальных бозонных переменных, описывающих мягкие глюонные возбуждения системы, и цветного заряда жесткой частицы. Квантовый коммутатор от квантово-полевых операторов полей заменен на так называемую скобку Ли-Пуассона от классических асимптотических переменных. Развитый подход использован для вывода общей формулы для потери энергии быстрой цветозаряженной частицы при её рассеянии на мягких бозонных возбуждениях кварк-глюонной плазмы в рамках классического гамильтонова формализма. С помощью известного вида S-матрицы рассеяния восстановлен эффективный ток рассматриваемого процесса рассеяния, что позволило в свою очередь определить формулу для потерь энергии высокоэнергичной цветной частицы.
Рассмотрено преобразование глюонного поля через вильсоновскую линию. Доказано, что в неабелевой теории в контурной калибровке глюонное поле может быть представлено в виде разложения на глюонную конфигурацию, являющуюся физической степенью свободы, и на глюонную конфигурацию чистой калибровки, которая полностью изолирована на границе и представляет собой особый тип остаточной калибровочной свободы. Показано, что контурная калибровка не может окончательно устранить новый вид остаточной калибровочной свободы. Данное разделение играет важную роль при анализе различных вкладов в спин нуклона.
В рамках нелокальной кварковой модели рассмотрен вклад аксиально-векторных мезонов в аномальный магнитный момент мюона от процесса рассеяния света-на-свете. Модель основана на четырех-кварковом взаимодействии со скалярным – псевдоскалярным и векторным – аксиально-векторным секторами. Поперечная компонента аксиально-векторного мезона соответствует частице со спином 1, а нефизическая продольная компонента – спину 0. Параметры модели переопределены на основании свойств пионов в присутствии смешивания π – a1.
Проведен феноменологический анализ модели темного фотона с учетом возможного нарушения лептонного числа. Проведены расчеты сечения рождения нейтральных мезонов в процессе перезарядки отрицательного пионного пучка при рассеянии на мишени. С использованием данного сечения оценен выход рождения нейтральных мезонов для характеристик эксперимента NA64 в ЦЕРН. Получены ограничения для будущей статистики эксперимента NA64 с использованием отрицательного пионного пучка.