В ИДСТУ СО РАН состоялась защита докторской диссертации Максима Старицына по вариационному анализу задач оптимального управления в бесконечномерных пространствах

В Институте динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова СО РАН 17 сентября состоялась защита диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Представленная работа ведущего научного сотрудника лаборатории оптимального управления ИДСТУ СО РАН Максима Владимировича Старицына посвящена вариационному анализу задач оптимального управления в бесконечномерных пространствах (специальность 1.1.2 — «Дифференциальные уравнения и математическая физика»). Научным консультантом выступил советник ИДСТУ СО РАН, член-корреспондент РАН Александр Александрович Толстоногов.

В диссертации развивается вариационный подход к анализу задач оптимального управления динамическими системами разных типов. Ключевое отличие от классической теории — использование точных нелокальных формул приращения функционала, записанных в терминах функции цены опорного управления. Эти формулы не опираются на аппарат малых вариаций и не содержат асимптотических разложений, что позволяет получать необходимые условия оптимальности, сохраняющие информацию о вариациях всех порядков. По словам автора, такой подход усиливает принцип максимума Л. С. Понтрягина и другие известные условия динамического экстремума. Подход реализован для задач управления обыкновенными дифференциальными уравнениями на банаховом пространстве, а также для нелокальных уравнений неразрывности и баланса на пространствах мер. Рассматриваются как традиционные постановки, так и вырожденные задачи управления в среднем поле с их импульсно‑траекторными расширениями в классе функций ограниченной вариации.

Проблема разрыва между необходимыми и достаточными условиями оптимальности — одна из центральных в теории динамического экстремума. Она имеет выраженный прикладной аспект, связанный с численным решением задач динамической оптимизации, и особенно остро проявляется в управлении уравнениями в частных производных и эволюционными системами. Изучаемые в работе постановки охватывают модели статистической физики и их аналоги в математической биологии, экономике и машинном обучении. Переход к импульсным процессам обусловлен потребностями развития аппарата управления ансамблями траекторий и сплошными средами в условиях шоковых воздействий.

Максим Старицын впервые получил условия экстремума высших порядков для задач управления нелокальными уравнениями неразрывности и баланса на пространствах мер. Предложены новые методы преобразования и декомпозиции законов баланса и уравнений переноса, основанные на барицентрическом проектировании. Также первые поставлена задача оптимального импульсного управления в среднем поле — как естественное обобщение классической задачи импульсного управления на случай нечеткого начального состояния или ансамбля траекторий. Построено импульсно-траекторное расширение задачи управления нелокальным уравнением неразрывности и получена новая форма принципа максимума Понтрягина, допускающая численную интерпретацию.  

Теоретическая значимость работы определяется расширением аппарата вариационного анализа на классы задач, для которых соответствующая теория ранее отсутствовала или была развита лишь частично. Практическая значимость связана с проблематикой численного решения задач динамической оптимизации: полученные условия оптимальности служат основой вычислительных процедур спуска в широком классе задач управления сосредоточенными и распределёнными системами, включая постановки, где непрямые методы не были ранее реализованы.

В рамках обсуждения работы членами диссертационного совета ИДСТУ СО РАН отмечено, что автор развивает идеи иркутской школы оптимального управления, отраженные в трудах А. В. Аргучинцева, В. И. Гурмана, В. А. Батурина, В. А. Дыхты, В. А. Срочко и других ученых, существенно дополняя их как по типу результатов, так и по области применения.